微分積分2009

2009年度は設問２,３が微分積分から出題された。

設問２（条件付き極値問題）

2020年度の review を参照。

題意の制約条件がなす3次元曲面

目的関数 $x^2+y^2+z^2$ と、制約条件 $xy+yz+zx=1$ がいずれも3次対称式になっている。この性質を利用して

\[\left\{ \begin{array}{l} s = x+y+z \\ t = xy+yz+zx \\ u = xyz \end{array} \right.\]

と変数変換し、解の判別式を使って制約条件も書き換えて解く方法（２変数版は高校数学で頻出）を考えたが、3次方程式の解の判別式が複雑なので現実的ではない。

また、2つ目の参考サイトのように、$x,y$ ２文字の対称性に着目して消去する方法も今回はうまくいかない¹。

以下の不定積分（indefinite integral）を求めよ。 $$ \int\frac{1}{x^2(1-x)^2}dx $$

被積分関数がよく見る部分分数分解 $\frac{1}{x(x-1)} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$ の２乗になっていることを使って解く。

設問２：13点
設問３：12点
（25点満点）

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