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微分積分2020

設問１（条件付き極値問題）

条件付き極値問題の方針

条件 $g(x,y)=0$ のもとで $f(x,y)$ の極値を求める場合：

  1. $F(x,y,\lambda):=f(x,y)-\lambda g(x,y)$ とおく。
  2. ラグランジュの未定乗数法より、$f(x,y)$ が点 $(x,y)$ で極値を取るとすれば、その点において次が成り立つ。
    \(\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial F}{\partial \lambda} = 0\)
  3. 上式を用いて、極値をとりうる点の候補 $(x,y)$ を求める。
  4. 各候補 $(x,y)$ が極値であるかを確認する。

Step 4 の示し方はさまざまであるが、ここで以下の定理が成り立つ。

最大値・最小値の定理（Extreme Value Theorem）

$R^n$ の有界閉集合で定義された連続関数は最大値および最小値をもつ。

したがって、$g(x,y)=0$ が有界閉集合である場合には、Step 3 で求めた点の中に必ず最大値・最小値が存在するため、Step 4をスキップすることができる？（やや不安）

参考：

関連問題

熊本大学の教材（リンク）

基本例題116,117「極値問題」
基本例題121、重要例題070,071「条件付き極値問題」
基本例題122、重要例題072「条件付き最大・最小問題」

設問２（1変数の積分）

(1)(2)は単純な部分積分。
(3)も部分積分を用いて $I_n=\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}x^{2n+1}dx$ に関する漸化式を導出して解く。

配点例

設問１：(1)5点、(2)8点（13点満点）
設問２：各4点、12点満点