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統計学2013

設問１（プレゼントの交換）

$n$ 人が参加するプレゼント交換ゲームを考える。 それぞれの人がプレゼントを持参し、一旦プレゼントをまとめたうえで、ランダムに一つのプレゼントをとる。この時、自分が行ってきたプレゼントをとる人が一人でもいる確率 $P_n$ を考える。 (1) 参加者 $i$（$i=1,2,\dots,n$）が自分のプレゼントをとる確率 $Q_i$ を求めよ。 (2) 参加者 $i$ か $j$ の少なくとも一方が自分のプレゼントをとる確率を求めよ。 (3) 確率 $P_n$ を求めよ。 (4) $n$ が大きくなると $P_n$ はある値に近つく。その値を求めよ。

完全順列

整数 $1,2,\dots,n$ からなる順列で、「$i$ 番目にある数が $i$ でない（$i=1,2,\dots,n）$」という条件を満たす順列を 完全順列, 撹乱順列、その総数を モンモール数 と呼ぶ。
(4) の結果より、$\lim_{n\rightarrow\infty}P_n = 1 - e^{-1} = 0.6321\cdots$ であるから、大人数でプレゼント交換を行うと約 63% の確率で自分のプレゼントを受け取ってしまう人が生じる。逆に、完全順列になる確率が $0$ にならず、約 37% に収束するのも興味深い。

参考

• Wikipdia（完全順列）
• 撹乱順列の個数を求める
• 撹乱順列の漸化式の解法

設問２

配点例

設問１

(1)(4) 各6点、(2)(3) 各7点（26点満点）

設問２

(1) 5点、(2)(4) 各6点、(3) 7点（24点満点）

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