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線形代数2022

設問1(LU分解)

LU分解の利点

5つの行列分解

5つの行列分解

CR分解

$A$ の独立な列行列のみからなる行列 $C$ と、行簡約行列 $R$ の積に分解する。
行ランクと列ランクが等しいことの証明に使える。
例:

\[\begin{align*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\ A &= CR \end{align*}\]

一般に $A:m\times n,\ C:m\times c,\ R:c\times n$ とするとき、$A$ の列ランクは $C$ の列数 $c$ である。また、$R$ の行ベクトルは $R$ が行簡約が独立であることより、$A$ の行ランクは、

LU分解

QR分解

固有値分解

特異値分解

プログラム

解答の確認に使ったプログラム

設問2(四元数の正方行列表現)

四元数はコンピュータビジョンと関係がある3。出題者が西野教授…?

  1. Qiita記事 

  2. LU分解とGaussの消去法の比較 

  3. Wikipedia