線形代数2022
設問1(LU分解)
LU分解の利点
- 2つの行列L,Uを格納するのに必要なメモリは、元の行列Aの格納スペースに等しい。
- Ax=bの方程式を解くとき、1度LU分解をすればbの値が変化してもすぐに解ける。Gaussの消去法を使う場合、拡大係数行列を再度階段化し直す必要がある
5つの行列分解
CR分解
$A$ の独立な列行列のみからなる行列 $C$ と、行簡約行列 $R$ の積に分解する。
行ランクと列ランクが等しいことの証明に使える。
例:
\[\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 5
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix} \\
A &= CR
\end{align*}\]
一般に $A:m\times n,\ C:m\times c,\ R:c\times n$ とするとき、$A$ の列ランクは $C$ の列数 $c$ である。また、$R$ の行ベクトルは $R$ が行簡約が独立であることより、$A$ の行ランクは、
LU分解
QR分解
固有値分解
特異値分解
プログラム
解答の確認に使ったプログラム
設問2(四元数の正方行列表現)
四元数はコンピュータビジョンと関係がある。出題者が西野教授…?