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線形代数2021

設問１（行列のn乗）

問題について

行列 $A$ は、偏角 $\frac{\pi}{3}$ の回転行列と倍率 $2$ の拡大行列をかけたものである。通常の対角化を使った方法でも理論上答えを求めることはできるが、(4)の計算量が多く、時間内に解き終わるのが難しい。
回転行列の性質 $R(\alpha)^n = R(n\alpha)$ を使うことで計算量を減らすことができる。また、2013年度の設問１に類題が出題されている。

メモ

「n次正方行列が対角化可能である」は以下のそれぞれと同値である：

固有空間の次元数の総和が、行列の次数nに等しい

すべての固有値に対し、固有空間の次元数と固有値の重複度が等しい

対角化の応用例：

• $A^n$の計算
• 線形常微分方程式を解く際に必要な、指数行列の計算

関連問題

• 重要例題081
• 参考になりそうなHP（リンク）：$A^n$に関する問題がたくさんある。回転行列を題材にしたものも。

設問２（実対称行列の性質と直交行列による対角化）

問題について

問題に登場する $B=A^TA$ あるいは $B=A^*A$ の形の行列を「グラム行列」と呼ぶ。
(1) は転置の性質から明らか。
(2) は行列 $B$ が半正定値行列であることを示せば良い。
(3) は一見難しそうだが、落ち着いて計算すれば解く事ができるはず。直交行列には、任意の列ベクトルどうしが直交するという性質がある。また任意の行ベクトルどうしも直交する。

参考サイト

• 正定値・判定値行列の定義と性質３つ
• 行列の定値性（Wikipedia）