線形代数2012

(1) 行列の対角化

逆行列の求め方（復習）

2次行列の場合

$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

3次以上の場合（掃き出し法）

$\begin{pmatrix} A & E \end{pmatrix}$ に行基本変形を行い、$\begin{pmatrix} E & B \end{pmatrix}$ と変形する。
このとき、$A^{-1}=B$ となる。

3次以上の場合（余因子行列の利用）

行列 $A$ の $(i,j)$ 余因子 $\tilde{a_{ij}}$ に対し、$\tilde{A} = (\tilde{a_{ji}}) = (\tilde{a_{ij}})^T$ を余因子行列という。
このとき、 $A^{-1} = \frac{\tilde{A}}{detA}$

練習問題

以下の逆行列を求めよ。 $A = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$

参考

3行3列以上の逆行列
逆行列を求める2通りの方法（数学の景色）

(2) 数列の一般項

(1) の $A$ は数列 $(x_n,\ y_n,\ z_n)$ の遷移行列になっている。
よって、一般項は以下のようになる。 $\begin{align} (x_n,\ y_n,\ z_n)^T &= A^n (x_0,\ y_0,\ z_0)^T \\ &= P D^n P^{-1} (x_0,\ y_0,\ z_0)^T \end{align}$ ただし、$D=P^{-1}AP$

配点例

(a)(b) 各25点

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