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$c_1f_1(x) + c_2f_2(x) + \cdots + c_nf_n(x) = 0$ がすべての $x$ について成り立つための必要条件が「 $c_1 = c_2 = \cdots c_n$ 」であるとする。このとき、$n$ 個の関数 $f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x)$ は1次独立であるという。
１次独立でない場合、１次従属であるという。したがって、$f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x)$ が１次従属であるとき、以下が成り立つ。
$\exists c_1,c_2,\cdots,c_n.\ (\forall x.\ \sum_{i=1}^{n} c_if_i(x) = 0)$ かつ 「$c_0 = c_1 = \cdots = c_n = 0$」ではない
参考：金沢工業大学の講義ページ
1. は証明問題。
2. は 1. で得た $W(x,y)$ に関する１階線形微分方程式（しかも同時微分方程式）の解を求める問題。
ロンスキー行列式（Wronski determinant）は、微分方程式の分野で用いられる行列式である。(1) の性質 6. 7. より、
関数 $f,g$ が１次従属であれば $W(f,g)=0$
$W(f,g) \neq 0$ であれば 関数 $f,g$ が１次独立である
が成立する。よって、ロンスキー行列式を使って、微分方程式の解の独立性を証明できる。
ただし、Wikipediaにもあるように、「$W(f,g)=0$ ならば、関数 $f,g$ が１次従属である」は不成立。
参考：Wikipedia
(1) 各2点（14点満点）
(2) 11点
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